數學補習,補習社,dse數學,數學最強,太子補習社-美麗的“陷阱” |
| 在一次小學數學畢業測試中，有這麼一道應用題：“有一個啤酒廠為瞭回收空啤酒瓶，規定每3隻空啤酒瓶可以換1瓶啤酒。一天，李師傅買瞭兩箱啤酒共24瓶，喝完之後拿空瓶換啤酒喝，李師傅最多可以喝到多少瓶啤酒？”測試完畢，引起老師們的爭議：有些老師認為李師傅最多可以喝到35瓶啤酒；有些老師認為李師傅最多可以喝到36瓶啤酒。老師們各抒己見，眾說紛紜，正確答案到底是多少呢？下面我們不防先擷取不同思維層次學生（隨機取樣）的一些解題方法，以饗同行！ 初始水平學生的解題方法：方法1：24÷3=8（瓶酒）方法2：24÷3+24=32（瓶酒）方法3：24÷3=8（瓶酒）；8÷3=2（瓶酒）……2（個空瓶）； 8+2=10（瓶酒）方法4：24÷3=8（瓶酒）；8÷3=2（瓶酒）……2（個空瓶）；（2+2）÷3=1（瓶酒）……1（個空瓶） 8+2+1=11（瓶酒） [通過對一個學校的學生進行卷面隨機取樣抽查（以下呈現的數據方法同樣），發現用以上四種解題方法解題的學生占抽查總數的33.6%，再通過事後與部分學生的交談，在他們的思維領域中，解決“李師傅最多可以喝到多少瓶啤酒？”這個問題時，這部分學生有些忽略瞭原裝的24瓶酒，有些沒有形成空瓶循環換酒的思維策略。] 中等水平學生的解題方法：方法1：24÷3=8（瓶酒） 8÷3=2（瓶酒）……2（個空瓶） 24+8+2=34（瓶酒）方法2：24÷3=8（瓶酒） 8÷3=2（瓶酒）……2（個空瓶）（2+2）÷3=1（瓶酒）……1（個空瓶） 24+8+2+1=35（瓶酒）最後餘2個空酒瓶，不夠換1瓶啤酒。方法3：24+24÷3+（24÷3+1）÷3=35（瓶酒） [這部分學生在解決“李師傅最多可以喝到多少瓶啤酒？”這個問題時，已經初步具有空瓶循環換酒的策略意識以及李師傅最多可以喝到的啤酒瓶數應該包括原裝的24瓶啤酒，隻是在最關鍵處即換剩2個空啤酒瓶時不懂得如何去取舍（包括我們部分教師在內），這也是教師們激烈爭論的問題焦點。通過調查統計，運用這種解題策略的同學約占抽查總數的 28.7%。] 思維水平比較高的學生的解題方法： 1×12+24=36（瓶） [這種思維的學生用24個“○”表示24個空啤酒瓶。第一次先用3個空啤酒瓶換得1瓶啤酒，喝完換來的這瓶啤酒後再另外拿兩個空啤酒瓶湊夠3個空酒瓶又換得1瓶啤酒，依此類推，每次喝完就換，一步一步記下喝過的啤酒瓶數，當喝完換來的第11瓶啤酒時，與餘下的1個空啤酒瓶加上借來的1個空啤酒瓶，又可以換得第12瓶啤酒，喝完第12瓶啤酒後再去還瓶子,因此最後得出李師傅最多可以喝到36瓶啤酒。] 方法2：喝完兩箱啤酒（共24瓶）後，第一次換啤酒： 24÷3=8（瓶酒）；喝完第一次換來的8瓶啤酒後進行第二次換啤酒： 8÷3=2（瓶酒）……2（個空瓶）喝完第二次換來的2瓶啤酒後，加上餘下的2個空瓶，進行第三次換啤酒：（2+2）÷3=1（瓶酒）……1（個空瓶）喝完後有一個空瓶+餘下的1個空瓶=2個空瓶此時剩下2個空啤酒瓶。李師傅可以向親戚、朋友、鄰居、廠傢或商店借一個空啤酒瓶，湊夠3個空瓶，然後換得一瓶啤酒，喝完之後再去還瓶子；或者李師傅在商店當場喝啤酒並馬上退瓶子。 24+8+2+1+1=36（瓶酒） [從這個思維角度思考的學生，通過一步一步的記下每次換得的啤酒瓶數，當最後換剩兩個空啤酒瓶時想盡一切辦法先“借”後“還”，因此最後得出李師傅最多可以喝到36瓶啤酒。] 方法3：24÷3=8（瓶酒）（8+1）÷3=3（瓶酒） 先從別處借來1個空瓶 3÷3=1（瓶酒） 喝完這瓶酒後再去還瓶子 24+8+3+1=36（瓶酒） [喝完兩箱啤酒（共24瓶）後，第一次換得8瓶啤酒，喝完換來的8瓶啤酒後，此時李師傅可以先借來一個空啤酒瓶，湊夠9個空瓶，然後又換得3瓶啤酒，當又喝完換來的3瓶啤酒後，最後用這3個空瓶換1瓶啤酒，喝完這瓶酒後即可還瓶子] [不管是用“○”圖形表示空啤酒瓶（方法1）；還是通過一步一步的推理（方法2、方法3），這部分同學思考的角度都是想方設法先“借1”後“還1”的解題策略，最後才得出李師傅最多可以喝到36瓶啤酒。通過調查統計，運用這種解題策略的同學約占抽查總數的9%。] 方法4：假設空啤酒瓶為a，瓶中酒為b。 3a=a+b 2a =b 24+24÷2=36（瓶酒）方法5： 24+24÷（3-1）=36（瓶）方法6：由空啤酒瓶換啤酒的規定：每3隻空瓶可以換1瓶啤酒，可以知道每3隻空瓶可以換一隻空瓶和一隻瓶子裡的啤酒。這就相當於用2隻空瓶換一瓶啤酒（不含酒瓶），算式：24+24÷2=36（瓶酒） [用字母表示（方法4）、用線段圖表示（方法5）、用語言敘述（方法6）這三種解法的學生，他們思考的角度都是先找出3隻空瓶換一瓶啤酒的對應關系即用2隻空瓶換一瓶啤酒（不含酒瓶），然後用一一對應的除法求得李師傅最多可以喝到36瓶啤酒。通過調查統計，運用這種解題策略的同學約占抽查總數的6%。]以上擷取的是不同思維水平的學生比較有代表性的解題策略，同時展示瞭部分學生最原始的思維過程（檢測完畢後進行的部分同學交談和隨機抽樣的卷面分析），學生有最初的理解策略，即認為“李師傅最多可以喝到8瓶啤酒、10瓶啤酒、11瓶啤酒、32瓶啤酒；逐步過度到35瓶啤酒和36瓶啤酒”，他們在理解題意時有的借助“○”圖形、有的借助“線段圖”、有的借助a、b等字母符號、有的通過動手畫一畫、動手擺一擺、一步一步的記下喝過的啤酒瓶數，有的丟掉瞭思維“拐杖”，直接上升到語言表述，總而言之，學生經歷瞭具體到形象，直觀到抽象的思維過程，最終形成自己的解題方法和策略。 下面談談老師們激烈爭議的問題焦點：第一種意見認為：李師傅最多可以喝到35瓶啤酒。理由是：題目中沒有說明可以借啤酒瓶，並且向親戚、朋友、鄰居、商店老板借酒瓶或者說在商店當場喝啤酒後馬上退酒瓶都是不現實的舉措，通俗的講在現實生活中是難以實現的。所以當最後換剩2個空啤酒瓶時，不符合“每3隻空啤酒瓶可以換1瓶啤酒”的規定，理應“忍痛”舍去2，因此李師傅最多可以喝到35瓶啤酒。第二種意見認為：李師傅最多可以喝到36瓶啤酒。理由是：題目的問題是“李師傅最多可以喝到多少瓶啤酒？”問題強調的是“最多”。並且條件是喝完兩箱啤酒（共24瓶）之後拿空瓶換啤酒喝。在不再多花錢（或不負債）的基礎上，不管用什麼方法（先借“1”後還“1”或者……），隻要能求出李師傅最多可以喝到的啤酒瓶數即可。所以第二種意見的老師以及筆者本人贊成李師傅最多可以喝到36瓶啤酒的幾種解題策略。《數學課程標準（修改稿）》提出：“有效的數學教學活動是教師教與學生學的統一，學生是數學學習的主體，教師是數學學習的組織者與引導者。因此學生的學習應當是一個生動活潑的、主動的和富有個性的過程，除接受學習外，動手實踐、自主探索與合作交流也是學習數學的重要方式……”尤其是“合作交流”是針對當前時代和社會對人才綜合素質能力的需求提出的，而筆者認為本題向“親戚、朋友、鄰居或商店老板借一個啤酒瓶”，正是“合作交流”這個教學理念在社會生活中的具體體現與檢測學生運用所學知識解決實際問題的綜合能力，反映我們所培養的學生是否具有“與人合作、與人交流”的人際交往能力。並且我們的學生接觸的學習內容是現實的、有意義的、富有挑戰性的，所以當學生形成解決問題的一些基本策略後，更應進一步體驗解決問題策略的多樣性，解題策略的開放性和思維的靈活性和廣闊性。題中隱藏有一個美麗的“陷阱”，即當最後剩下2個空啤酒瓶時，是“借1”還是“棄2”呢，這是本題的關鍵所在，也是問題爭論的焦點，同時也彰顯我們所培養的學生是“循規蹈矩 ，不敢越雷池半步”還是“思維開闊、富有創新精神呢”，從側面也反映我們一部分教師對課改新理念的理解比較滯後。從上面呈現的數據可以發現，處於初始理解水平的學生大約占瞭33.6%，他們對於題意的理解比較困難，所以這部分學生基本上沒有考慮到原裝的24瓶啤酒，或者沒有形成空啤酒瓶循環換酒的策略意識，所以我們的教師在教學中，要註意引導學生借助圖形、符號、線段圖以及讓學生動手畫一畫、動手擺一擺或者一步一步的記下換酒瓶數、一步一步的進行推理等策略來幫助不同思維層次的學生對題目的理解，同時要註意鼓勵與提倡解決問題策略的多樣化，要註意尊重學生在解決問題過程中所表現出的不同思維水平，並且教師對數學問題的設置要力求具有啟發性、探索性、發展性、挑戰性，設計一些思維含量比較高的問題，從而激發學生的學習熱情和主動探索的精神，培養學生對信息材料的處理和對問題的合情推理能力以及靈活應變能力，讓學生的綜合素質得到應有的發展，成就數學教學的有效性和高效性。 |
文章標籤
全站熱搜
