數學補習,補習社,dse數學,數學最強,太子補習社-函數與方程的思想方法 |
| 函數與方程的思想方法 (一)函數思想函數思想，是指用函數的概念和性質去分析問題、轉化問題和解決問題．1．引入變量，確定函數關系在數學各分支中若遇到有關不等式、方程及最值之類的問題，利用函數觀點加以分析，常可使問題變得明瞭，從而易於找到一種適當的解題途徑．【例1】設a＞0，a≠1，試求方程loga(x－ak)=loga2(x2－a2)有實數解的k的取值范圍．三角函數k=f(θ)=cscθ－|cotθ|．綜上，使原方程有實數解的k的取值范圍是k＜－1或0＜k＜12．選定主元，揭示函數關系如何從一個含有多個變元的數學問題裡，選定合適的主變元，從而揭示其中主要的函數關系，有時便成瞭數學問題能否“明朗化”的關鍵所在．【例2】設不等式2x－1＞m(x2－1)對滿足|m|≤2的一切實數m的取值都成立，求x的取值范圍．分析 此問題由於常見的思維定勢，易把它看成關於x的不等式進行分類討論．然而，若變換一個角度以m為主元，記)f(m)=(x2－1)m－(2x－1)，則問題轉化為求一次函數(或常數函數)f(m)的值在區間[－2，2]3．選取變元，構造函數關系選取變元，構造函數關系來解決數學問題，這是運用函數思想解題的較高層次，隻有平時多加訓練並註意積累，才能做到運用自如．【例3】已知ABCD是邊長為4的正方形，E，F分別為AB，AD的中點，GC垂直於ABCD所在平面，且GC=2，求點B到平面EFC的距離．解 如圖，連接EG、AC、BD、EF，EF、BD分別交AC於H、O，連接GH．因ABCD為正方形，故BD⊥AC．由已知易得BD與平面GEF內的直線GH是異面直線，由此可將點B到平面GEF的距離轉化為兩異面直線BD、GH的距離，建立兩異面直線上任意兩點距離的一個二次函數關系式：在GH上任取一點K，作KL⊥AC，垂足為L，連結KO．4．解答實際問題，關鍵在於建立目標函數對於實際應用題，首先要讀懂文字說明，再將其翻譯成數學語言，建立數學模型和函數關系式，利用函數的性質、重要不等式或有關知識進行解答．【例4】建造一個容積為8m3，深為2m的長方形無蓋水池，如果池底和池壁的造價每平方米分別為120元和80元，則水池的最低造價為________元．解 設水地的造價為k元，它與池底和池壁的面積有關，得底面積為4m2，取等號)．5．數列是特殊的函數，將其轉化為自變量n的函數等差、等比數列通項公式，前n項和公式都可看成n的函數．因此，某些等差(比)數列問題常可用函數思想來分析或用函數方法來解決．【例5】設等差數列｛an｝的前n項和為Sn，已知a3=12，S12＞0，S13＜0．(1)求公差d的取值范圍；(2)指出S1，S2，…，S12中哪一個值最大，並說明理由．解 (1)由a3=a1＋2d=12，知a1=12－2d，及S12=12a1＋66d=12(12－2d)＋66d=144＋42d＞0S13=13a1＋78d=13(12－2d)＋78d=156＋52d＜06．利用二項式定理構造函數利用二項式定理構造函數f(x)=(a＋x)n(n∈N)應用廣泛，特別是在證明組合數恒等式，組合數求和，證明不等式，證明整除等問題中應用較多．系數．註 通過以上問題的解答，可初步領悟函數思想運用規律．當然，應用函數思想的同時，還應註意換元、參數、數形結合、分類討論等思想方法的運用．(二)方程思想方程思想，就是從問題的數量關系分析入手，運用數學語言將問題中的條件轉化為數學模型(方程、不等式或方程與不等式的混合組)，然後通過解方程(組)或不等式(組)來使問題獲解．1．待定系數法待定系數法的實質就是方程思想．它把待定的未知數與已知數等同看待來建立等式，即得到方程．【例7】是否存在常數a，b，c，使得等式1·22＋2·32＋…論．分析 假設存在a，b，c使題設的等式成立．令n=1，2，3，得再用數學歸納法證明恒等式成立．2．利用根與系數的關系或根的判別式構造方程如果題設條件中具備或經變形整理後具備x1＋x2=a，x1x2=b的形式，則可利用根與系數的關系；具備b2－4ac≥0，b2－4ac≤0的形式，可利用根的判別式，構造一元二次方程．【例8】已知△ABC三內角A、B、C的大小成等差數列，且邊a，b，c及三個角．△ABC中的恒等式tanA＋tanB＋tanC=tanAtanBtanC，於是有tanA＋tanC=tanB(tanAtanC－1)．3．利用變量代換構造方程對某些問題，巧妙地進行變量代換，經適當整理後可使問題轉化為關於某變數的方程形式，可應用方程思想來解題．f(x)有意義，求a的取值范圍．解 當x∈(－∞，1]時，f(x)有意義，∞，1]．)4．構造復數方程某些三角問題，可用匹配三角函數對偶式來構造復數方程，利用復數的性質解題．從上不難看到，方程思想在解題中有著廣泛的應用． 上一篇范文： 八年級上期中數學試題下一篇范文： 分類討論的思想方法 分享到： |
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